GEOTAHVLI KASUTAMINE PÕHIKOOLI GEOMEETRIAÕPETUSES

T A R T U Ü L I K O O L MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatika instituut Matemaatika didaktika õppetool Anu Kuld GEOTAHVLI KASUTAMINE PÕHIKOOLI GEOMEETRIAÕPETUSES Magistriõppe lõputöö Juhendaja: dots Tiit Lepmann Autor:...... juuni 2009 Juhendaja:...... juuni 2009 Lubatud kaitsmisele Matemaatika instituudi juhataja:...... juuni 2009 Tartu 2009

Sisukord SISSEJUHATUS... 3 1 GEOTAHVEL... 4 1.1 GEOTAHVLI TUTVUSTUS... 4 1.2 GEOTAHVLI VALMISTAMINE... 11 1.3 GEOTAHVEL GEOMEETRIAÕPETUSES... 12 2 VIRTUAALNE GEOTAHVEL... 19 2.1 VIRTUAALSE GEOTAHVLI EKRAANIPILT... 20 2.2 VIRTUAALSE GEOTAHVLI KASUTUSJUHEND... 21 3 TÖÖLEHTI GEOTAHVLI KASUTAMISEKS... 24 3.1 HULKNURGA PINDALA JA ÜMBERMÕÕT... 25 3.1.1 Pindala mõiste... 27 3.1.2 Ümbermõõdu mõiste... 29 3.1.3 Kujundi pindala ja ümbermõõt... 30 3.1.4 Ristküliku ja ruudu pindala valemi tuletamine... 31 3.1.5 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest... 32 3.1.6 Täisnurkse kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala meetodil... 34 3.1.7 Täisnurkse kolmnurga pindala valemi tuletamine... 35 3.1.8 Suvalise kolmnurga pindala valemi tuletamine... 37 3.1.9 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest (rakendus)... 39 3.1.10 Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmine... 40 3.1.11 Hulknurga pindala... 41 3.2 KOORDINAATTASAND... 43 3.2.1 Koordinaattasand... 44 3.2.2 Koordinaattasand, ümbermõõt ja pindala... 45 3.3 KUJUNDITE SÜMMEETRIA JA TEISENDUSED TASANDIL... 46 3.3.1 Sirge suhtes sümmeetrilised kujundid... 47 3.3.2 Kujundi pööramine ümber selle punkti... 49 3.4 AVATUD PROBLEEMIDE VÄLJU... 51 3.4.1 Lõigud geotahvlil... 52 3.4.2 Ruudud geotahvlil... 54 KOKKUVÕTE... 56 SUMMARY... 57 KASUTATUD KIRJANDUS... 58 2

Sissejuhatus Käesoleva magistriõppe lõputöö eesmärgiks on tutvustada praktilist õppevahendit ja selle võimalusi elementaargeomeetria õpetamisel. Töös kasutatakse selle vahendi nimetamiseks terminit geotahvel. Geotahvel on originaalis valmistatud puuplaadi ja poolenisti sellesse löödud naeltest ning seda kasutatakse naelte ümber erinevate kummide abil geomeetriliste kujundite tekitamiseks. See vahend võimaldab õpilastel käelise tegevuse kaudu uurida selliseid koolimatemaatika geomeetria teemasid nagu ümbermõõt, pindala, geomeetrilised kujundid ja nende omadused, sümmeetria, koordinaattasand, nurgad ja nende suurused. Käesolev töö koosneb kolmest osast. Esimeses peatükis tutvustatakse esmalt geotahvli olemust ning vaadeldakse nelja erinevat geotahvli tüüpi, millest kolm on tasapinnaliste ning üks ruumiliste kujundite uurimiseks. Järgnevalt pakutakse võimalus ainetevaheliseks integratsiooniks, milleks antakse näpunäited geotahvli ise valmistamiseks näiteks tööõpetuse tunnis. Seejärel tuuakse ülevaade geotahvli kasutamise võimalustest geomeetriaõpetuses koos selgitavate näidetega. Töö teises osas vaadeldakse autori meelest üht parimat võimalikku varianti Internetist vabalt kättesaadavatest virtuaalsetest geotahvlitest ning antakse selle kasutusjuhend. Samuti tuuakse selle geotahvli erinevate tüüpide elektrooniliste variantide veebiaadressid. Kolmas peatükk on kõige mahukam sisaldades töö käigus autori poolt koostatud töölehti geotahvli rakendusvõimaluste konkreetsemaks näitlikustamiseks. Need on eelkõige mõeldud kasutamiseks virtuaalse geotahvliga, kuid väikeste mööndustega kasutatavad ka füüsilise geotahvli korral. Töölehtede temaatika puudutab peamiselt 6. klassi materjali, kuid esimesed töölehed on kasutatavad ka juba 4.-5. klassis ja peatüki viimaste töölehtede ülesannete uurimiseks võimalikult üldisel kujul on vajalikud gümnaasiumiõpilase teadmised. Seega geotahvel pakub võimalusi erinevate geomeetria teemade käsitlemisel kogu kooliaja vältel. Töös olevate jooniste tegemiseks on peamiselt kasutatud dünaamilise geomeetria programmi GeoGebra. 3

1 Geotahvel 1.1 Geotahvli tutvustus 1950-ndate aastate algul võttis Egiptusest pärit matemaatik ja pedagoog Caleb Gattengo (1911-1988) Londonis kasutusele uue matemaatilise vahendi elementaargeomeetria õpetamiseks. Prantusekeelsetes artiklites kasutas Caleb Gattengo selle vahendi nimetamiseks terminit géoplan, inglise keeles nimetatakse seda aga geoboard. Sõna tahvel näib samuti tavalisem olema Saksamaal, kus seda kutsutakse nagelbrett. [1] Käesolevas töös kasutame selle õppevahendi korral eestikeelse vastena terminit geotahvel. Geotahvel on originaalis valmistatud puuplaadi ja poolenisti sellesse löödud naeltest ning seda kasutatakse naelte ümber erineva värvi ja suurusega kummide abil geomeetriliste kujundite tekitamiseks (vt joonis 1 ja 2) [2]. Tänapäeval valmistatakse geotahvleid ka läbipaistvast plastmassist, mis annab võimaluse vaadelda kujundeid ümberpööratult ning asetada geotahvleid üksteise peale. Samuti on võimalik läbipaistvaid geotahvleid kasutada grafoprojektori abil suurelt seinale näitamiseks. Joonis 1. Algupärasem geotahvel, mis on valmistatud puuplaadi ja naelte abil. Joonis 2. Kaasaegsem puidust geotahvel. Kõige sagedamini kasutatakse 5x5 võrgustikuga geotahvleid, mis koosnevad kokku 25 naelast asetatuna võrdsete vahekaugustega viiele horisontaalsele ja viiele vertikaalsele joonele (vt joonis 2) [3]. Geotahvli plaadi osa võib olla tegelikult ükskõik millise kujuga (vt joonis 1), oluline on siinjuures naelte omavaheline paigutus sellel. Olenevalt naelte võrgustikust on geotahvli abil võimalik tekitada jooniseid nii tasapinnalistest kui ka ruumilistest kujunditest. 4

Järgnevalt vaatamegi lähemalt kolme tasapinnaliste ning üht ruumiliste kujundite uurimiseks kasutatavaid võimalikke geotahvli tüüpe. Lisaks anname lühikese kirjelduse iga tüübi võrgustiku konstruktsiooni kohta. I Geotahvli põhitüübid tasapinnaliste kujundite tekitamiseks Esimese, kõige lihtsama geotahvli variandina, vaatleme 5x5 ruuttahvlit. Joonis 3. 25 punkti ehk 5x5 ruuttahvel. Ruuttahvli võrgustiku konstruktsioon on kõige lihtsam. Selleks piisab võtta vaid ruuduline või millimeeterpaber ning märkida horisontaalsetele ja vertikaalsetele joontele võrdsete vahekaugustega punktid, mis moodustaksid ruudu. Joonis 4. 5x5 ruuttahvli konstruktsioon. Valgele paberile võrgustiku tegemiseks võib aluseks võtta juba 6. klassis vaadeldava Descartes i ristkoordinaadistiku, mille järgi on lihtne vajalike punktide asukohad määrata. 5

Järgmise alaliigina geotahvlitest on kasutusel kolmnurktahvel. Joonis 5. 15 punkti kolmnurktahvel. Kolmnurktahvli võrgustiku tegemiseks on samuti kõige lihtsam kasutada koordinaatruudustikku. Nüüd tuleb punktid paigutada malelaua süsteemi järgi ruudustikku (vt joonis 6) nii, et need moodustaksid kolmnurga ning punktidevahelised kaugused ridades oleksid võrdsed. Joonis 6. Kolmnurktahvli võrgustiku konstruktsioon. Sellise konstruktsiooni korral kummi abil tekitatav kõige väiksem kolmnurk ehk ühikkolmnurk on võrdhaarne kolmnurk, mille alus ja kõrgus on võrdsete pikkustega. Kolmnurktahvli võrgustiku võib konstrueerida ka selliselt, et ühikkolmnurk oleks võrdkülgne. 6

Kolmanda võimalusena on tasapinnaliste kujundite uurimiseks kasutusele võetud ringtahvel. Joonis 7. 25 punkti ringtahvel. Ringtahvli võrgustiku konstrueerimise aluseks on ringi jaotamine sektoriteks. Analoogiliselt ruut- ja kolmnurktahvliga ei ole ringtahvli puhul kujuteldavate sektorite ning ringjoonte arv määratud, kuid iga kahe järjestikku asuva ringjoone raadiuste vahe peab olema konstantne ning punktid peavad asuma ringjoon(t)el ühtlaselt. Joonis 8. Ringtahvli võrgustiku konstruktsioon. 7

Suurema tööpinna saamiseks võib geotahvleid ühendada näiteks pannes kokku neli 5x5 ruuttahvlit, saame ühe suure 10x10 geotahvli. Joonis 9. 10x10 geotahvel ühendatuna neljast 5x5 ruuttahvlist. Geotahvel mõõtmetega 11x11 annab hea võimaluse koordinaatteljestiku kasutamiseks. Lisaks punkti koordinaatide määramisele saab selle abil lahendada veel näiteks peegeldamisülesandeid horisontaalsest ja vertikaalsest sirgest ning punktist (koordinaatide alguspunktist). Joonis 10. Koordinaattahvel. 8

II Geotahvel ruumiliste kujundite tekitamiseks Me näeme iga päev enda ümber erinevaid geomeetrilisi vorme. Tihtipeale tuleb teha meil esemetest jooniseid, mis oleksid üheselt mõistetavad ka kõrvaltvaatajale. Kui tasandiliste kujundite joonestamisele on meie põhikooli ainekavas piisavalt tähelepanu pööratud, siis ühegi ruumilise kujundi joonestamise oskust põhikooli ainekava otseselt ei nõua [4]. Samas gümnaasiumi stereomeetriakursuse edukaks omandamiseks peaks õpilane oskama teha piisavalt ülevaatlikke jooniseid. Seetõttu pole ülearune juba teisel või kolmandal kooliastmel anda esmaseid oskusi ruumiliste kujundite joonestamiseks. Ühe võimalusena pakub töö autor välja enne paberile joonestamise juurde asumist harjutada ruumiliste kujundite tekitamist spetsiaalsel geotahvlil. Kolmemõõtmeliste ehk ruumiliste objektide ilmekaks kujutamiseks kahemõõtmelisel pinnal saab ühe võimalusena kasutada isomeetriat, mis on üks aksonomeetria 1 alaliikidest [5]. Isomeetrilise kujutamisviisi korral on kujutamiskiired ekraaniga risti ning teljestik on paigutatud ekraani suhtes nii, et kõik teljed moodustavad ekraaniga võrdsed nurgad, mistõttu teljestikust saadav ristprojektsioon tuleb isomeetriline ehk võrdmõõduline [6] igal teljel on sama skaala, st et üks ühik välja joonistatuna ühel teljel on täpselt sama pikk ka teisel ning kolmandal teljel. Nurgad telgede kujutiste vahel on võrdsed, suurusega 120. Joonis 11. Isomeetriline projektsioon Punktide märkimisel koordinaatteljestikku, mis koosneb kahest ristuvast arvteljest, saame koordinaatruudustiku punktid, mille põhjal saime võrgustiku eespool vaadeldud ruuttahvli jaoks. Isomeetriateljestikku märgitud punktid moodustavad aga punktide võrgustiku nagu näidatud joonisel 12. 1 Aksonomeetria on kujutise ilmekust (selgust) taotlev kujutamismeetod, mille puhul kujutis konstrueeritakse eseme punktide koordinaatide järgi, teljestiku kujutise baasil. Tegemist ei ole ruumilise joonisega vaid selle imitatsiooniga, sest joonis ise asub kahemõõtmelisel pinnal. [7] 9

Joonis 12. Isomeetria teljestik. Kui ristkoordinaatteljestiku korral saame ruudustiku ehk ruutudest koosneva mustri, siis isomeetriateljestikku märgitud punktid moodustavad rombidest koosneva mustri. Tegemist on tõepoolest rombidega, sest ühiknelinurga vastasküljed on paralleelsed ja võrdsete pikkustega. Seejuures üks paar vastasnurki on suurusega 120 ja teine paar vastasnurki suurusega 60. Viimast, rombidest koosnevat punktide võrgustikku, võib samuti kasutatada geotahvli konstrueerimisel, mille tulemusel saadavat geotahvlit nimetame isomeetriliseks tahvliks. Joonis 13. Isomeetriline geotahvel. 10

Näide 1. Tekitame isomeetrilisele geotahvlile kuubid ja püramiidi. Joonis 14. Isomeetrilisele geotahvlile tekitatud kuubid ja püramiid. Kuubi puhul on nähtamatud jooned mõistlik tegemata jätta, mida aga püramiidi konstrueerimisel soovitada ei saa. Jooniste tegemisel on kasutatud veebis vabalt kättesaadavat virtuaalset isomeetrilist geotahvlit [8]. 1.2 Geotahvli valmistamine Eesti põhikooli ja gümnaasiumi riiklikku õppekava on kritiseeritud nõrga ainetevahelise integratsiooni osas. Tihti nõuab see taotlus õpetajalt palju lisatööd ja aega. Töö autor pakub siinkohal välja suhteliselt lihtsa võimaluse siduda tööõpetust ja matemaatikat. Tänapäeval on praktiliselt kõike võimalik osta poodidest, nii ka geotahvleid, kuid miks mitte lasta õpilastel need ise oma kätega teha. Isetegemise kasuks leidub mitmeid argumente, näiteks: geotahvli valmistamise protsess on lihtne ja selleks piisab üldiselt kodu või kooli tingimustest ning seal leiduvatest materjalidest; juba enne matemaatika tunnis kasutama hakkamist saab geotahvli vastu õpilaste huvi äratada; geotahvli valmistamine tööõpetuse tunnis aitab õpilastel paremini näha, läbi oma kogemuse, et tööõpetuse tundides nad kasutavad väga palju matemaatika tundidest saadud teadmisi. 11

Geotahvleid võib lasta õpilastel valmistada projektõppe käigus. Mõistlik oleks moodustada nii tüdrukutest kui ka poistest koosnevad segarühmad, siis kaob probleem, et tüdrukud peaksid hakkama puutööd tegema. Järgnevalt lühike juhend, kuidas geotahvli valmistamisega ise edukalt hakkama saada. Kõigepealt on vaja otsustada, kui suurt ja millise võrgustikuga geotahvlit soovitakse ning leida või teha sobivad puuplaadid. Kindlasti tuleb silmas pidada, et need puuplaadid oleksid piisavalt siledad, et hiljem kasutamise käigus mõni laps näiteks pindu kätte ei saaks. Seejärel saab liikuda naelte asukohtade määramiseks paberist šablooni tegemise juurde. Selleks on kindlasti suur abi eelnevalt kirjeldatud geotahvli erinevate tüüpide võrgustike konstruktsioonide kirjeldustest. Paber, millele punkte (naelte asukohti) märkima hakatakse võib olla tavaline valge paber, ruuduline või millimeeterpaber. Punktide märkimiseks paberile võib lisaks käsitsi tegemisele kasutada mõnd arvutiprogrammi (nt GeoGebra) või otsida Internetist sobiv valmis šabloon ja see välja printida. Järgmise sammuna tuleks asetada paberist šabloon puuplaadile ja kinnitada see nurkadest või suurema paberi korral puuplaadi alumisel küljel liimi või knopkadega. Edasi lüüa punktidega märgitud kohtadesse umbes pool naela pikkusest puuplaadi sisse, ülejäänud pool naela pikkust peab jääma ülespoole puuplaadi pinda, et nendele oleks võimalik hiljem pingutada kumme erinevate geomeetriliste kujundite tähistamiseks. Kui kõik naelad on poolenisti sisse löödud, siis eemaldada soovitavalt šablooni paber. Erineva suuruse ja värviga kummidega saabki nüüd asuda geotahvlit kasutama. 1.3 Geotahvel geomeetriaõpetuses Selleks et õppida, tuleb keskenduda, ületada raskusi, end kokku võtta. Õppimine on töö. Oluline on teada, et täiskasvanu ja lapse töö vahel on suur erinevus. Täiskasvanu töö eesmärgiks on muuta ümbrust. Laps teeb tööd selleks, et muuta iseennast, kasvada ja areneda. Kui täiskasvanu suudab sundida vajaduse korral end keskenduma, siis lapsel selline omadus puudub. Lapsi jälgides jõudis itaalia arst ja pedagoog Maria Montessori (1870-1952) veendumusele, et lapse keskendumisvõime algab käest. Kui lapse käsi on hõivatud, voolib või lõikab ta midagi parajasti, ei pane ta ümbruses toimuvat tähele. 12

Keskendumine aitab lapsel saavutada seesmist rahu ja tasakaalu. Õppevahendid peavad olema sellised, et nendega saab midagi teha, lapsel peab olema võimalus kasutada kätt intellekti tööriistana. Keskendumisest tulenev seesmine rahu on isiksuse kui terviku arengu eelduseks. [9] Geotahvel on just selline praktiline õppevahend, mis annab võimaluse lapsel oma käsi kasutada, uurimaks selliseid koolimatemaatika geomeetria teemasid nagu ümbermõõt, pindala, geomeetrilised kujundid ja nende omadused, sümmeetria, koordinaattasand, nurgad ja nende suurused. See on suurepärane õppevahend just kinesteetilistele ja visuaalsetele õppijatele, sest nad saavad teha ja näha geomeetriat [2]. Kui lisada käelise tegevuse juurde ka arutlev vestlus, siis soodustab geotahvel arusaamist ka auditiivsetel õppijatel. Geotahvel on väga laiaulatuslik abivahend, mis sobib kasutamiseks lasteaialapsest gümnasistini ja mille rakendamiseks praktikas ei pea õpetaja arvestama kontsentrilisuse printsiibiga. Nagu iga uue vahendi korral tuleks ka geotahvlit kasutama asudes lasta õpilastel algul pisut mängida, et nad saaksid ise uurida ja katsetada uue vahendi võimalusi. Geotahvel võimaldab kõige üldisemas plaanis näiteks: eksperimenteerimise teel jõuda uutele matemaatilistele tulemustele; Näide 2. Kolmnurga pindala arvutamine ristküliku pindala abil. Moodustame esmalt kolmnurga ABC ümber ristküliku ADCE nagu näidatud joonisel 15. Joonis 15. Kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala abil. Antud juhul kolnurga ABC pindala saame kui lahutame selle ümber moodustatud ristküliku ADCE pindalast kolmnurkade ACE ja BDC pindalad. Selleks leiame kahe viimati nimetatud kolmnurga pindalad tuginedes ristküliku pindala leidmise valemile. 13

Kolmnurk ACE moodustab poole ristkülikust ADCE, seega S = 0,5 S = 0,5 (4 2) = 4 (rü). ACE ADCE Kolmnurga BDC pindala on aga poole väiksem ristküliku BDCF pindalast, saame S = 0,5 S = 0,5 (1 2) = 1 (rü). BDC BDCF Nüüd kolmnurga ABC pindala S = S 0,5 S 0,5 S = 8 4 1= 3 (rü). ABC ADCE ADCE BDCF Kolmnurga pindala valemit teades on lihtne veenduda, et tõepoolest eelnevalt ristküliku pindalale toetudes saadud tulemus on õige. eksperimenteerida, oma oletust kontrollida ja korrigeerida; Näide 3. Kolmnurga pindala uurimine kui kolmnurga alus on pikkusega 1 ja kõrgus on pikkusega 1. Uurimus viib tõdemusele, et kolmnurga pindala võib sõltuda vaid kolmnurga alusest ja kõrgusest. Geotahvlile on väga lihtne erinevaid selliseid kolmnurki tekitada, mis rahuldaksid antud tingimusi. Joonis 16. Kolmnurga pindala uurimine. Ristküliku pindalale toetudes on lihtne veenduda, et kõikide erineva kujuga kolmnurkade pindalad on võrdsed: S = 1 0,5 1 0,5 (rü); 1 = S = 2 0,5 2 0,5 1 0,5 (rü); 2 = S = 3 0,5 3 0,5 2 0,5 (rü); 3 = S = 4 0,5 4 0,5 3 0,5 (rü). 4 = Seega samasuguse aluse ja kõrgusega kolmnurkade pindalad on võrdsed. 14

manuaalset tegevust, kerget muutmise võimalust, dünaamilisust; Näide 4. Täisnurkse kolmnurga tekitamine ringtahvlile nii, et ükski komnurga külg ei asuks horisontaal- või vertikaalsirgel. Joonis 17. Ringtahvlile täisnurkse kolmnurga konstrueerimine. Oletame, et õpilane paneb paika ringtahvlile kaks kolmnurga tippu ehk ühe külje vastavalt mittehorisontaalsesse asendisse. Kolmanda tipu paigutamine aga esimesel korral pisut ebaõnnestub (vt joonis 17, vasakpoolne konstruktsioon). Nähes või jõudes arvutuste teel tõdemusele, et geotahvlile tekkinud kolmnurk ei ole kohe mitte täisnurkne, siis saab ta lihtsa vaevaga võtta vastavast kolmnurga tipust kinni ning lohistada see õige punkti juurde (vt joonis 17, parempoolne konstruktsioon). Selle käigus õpilane näeb oma silmaga, kuidas algul saadud nürinurkne kolmnurk muutub täisnurkseks. ülevaatlikkust ja piiratud arvu võimalusi; Näide 5. Pindalaga 9 ruutühikut ruutude pingutamine 5x5 ruuttahvlile. Joonis 18. 5x5 ruuttahvlile pingutatud maksimaalne arv ruute pindalaga 9. Joonise abil võime veenduda, et 5x5 ruuttahvlile on võimalik pingutada vaid 4 ruutu, mis on pindalaga 9 ruutühikut. 15

tasandilist esitust, osafiguuride lihtsat äratundmisvõimalust (segavate joonte nägemist, abijoonte lihtsat lisamist); Näide 6. Trapetsi pindala leidmine. Trapetsi pindala leidmine on lihtsa võttega taandatav ristküliku ja kolmnurga pindala(de) leidmisele. Geotahvli naelte ümber saame pingutada kummi(d) nii, et trapets jaotuks ristkülikuks ja üheks või kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Joonis 19. Trapetsi pindala leidmine otsest valemit kasutamata. Nüüd kasutades näidet 2, saame vaadeldava trapetsi pindala leida järgmiselt: S = 0,5 3+ 6+ 0,5 9= 11,5 (rü). vaadelda võrdseid kujundeid ja nende omadusi erinevates asendites; Näide 7. Geotahvel on füüsiliselt piisavalt väike, mistõttu seda on lihtne pöörata või asetada läbipaistvast materjalist valmistatud geotahvleid üksteise peale veendumaks näiteks kahele ühesuguse konstruktsiooniga tahvlile pingutatud kujundi võrdsuses. püsiomaduste ja erinevuste lihtsat avastamist; Näide 8. Pingutades geotahvlile palju erinevaid nelinurki, õpilane saab lihtsasti avastada - püsiomaduse: 4 nurka; - erinevusi: osadel küljed paralleelsed, osadel võrdsed jne. ikoonilise ja enaktiivse tegevuse koordineerimist (eksperimendid ja nende tulemuste protokollid), ülekandevõimalusi teise mastaapi. 16

Kooligeomeetria puhul tulevad geotahvli kasutusvõimalused eriti hästi esile järgmiste teemade õpetamisel: pindala mõiste näiteks kolmnurga pindala ristküliku pindalale toetuvalt (vt näide 2, lk 13), hiljem võimekamatele õpilastele Pick i valem kujundi pindala selle sise- ja rajapunktide arvu kaudu; kujundite sümmeetria uurimine sümmeetria avastamine, sümmeetrilise kujundi konstrueerimine, sümmeetriatelgede leidmine; sirgete paralleelsus sirgete sama tõus, liikumine koordinaattasandil: sammud paremale vasakule, üles alla, ristseis, ristsirgete tõusude korrutis; lõigu pikkus Pythagorase teoreem, arvutusi juurtega; lõigu jaotamine osadeks samakaugete paralleelide parv geotahvlil, selliste kujundite uurimine, mille tipud ei asu naelte kohal, seosed arvutustega murdudega; nurga mõiste, erinevad sihid, võrdsed nurgad, sarnased kujundid, nurga tangens, nurk sirgete vahel. Geotahvel on hea vahend probleemide püstitamiseks ja nendele lahenduste leidmiseks. Järgnevas pakume mõningaid probleemseadeid: kujundite vaba paigutamine geotahvlile näiteks arvude, tähtede vaba paigutamine; Ülesanne. Konstrueeri sõna Geotahvel kõik tähed eraldi 5x5 ruuttahvlitel. Kas on mõni eesti tähestiku täht, mida pole võimalik teha? teatud kindlate omadustega kujundite leidmine; Omaduseks võib olla näiteks: nurkade arv; Ülesanne. Konstrueeri korrapärane kuusnurk. sümmeetria; Ülesanne. Konstrueeri nelinurk, millel on 4 sümmeetriatelge. suurem / vähem korda. Ülesanne. Suurenda / vähenda antud kolmnurka 2 korda. 17

ühe ja sama kujundi pindala ja ümbermõõdu erinevuse uurimine; Ülesanne. Võrdle ühikruudu pindala ja ümbermõõtu. ühe ja sama kujundi pindala ja ümbermõõdu muutuse uurimine; Ülesanne. Uuri pindala ja ümbermõõdu muutust kujundi joonmõõdete kahekordistamisel. seoste avastamine; Ülesanne. Tuleta rööpküliku pindala valem kasutades kolmnurga ja ristküliku pindala valemeid. ornamentide ja mustrite konstrueerimine (eriti ilusad on need ringikujulisel geotahvlil). Toodud loetelu probleemseadetest ei ole kindlasti lõplik. Esitati vaid mõned võimalikud näited. Seda nimekirja on võimalus igal õpetajal loovalt täiendada. 18

2 Virtuaalne geotahvel Caleb Gattengo poolt leiutatud geotahvel oli originaalis valmistatud puuplaadist ning sellesse poolenisti sisselöödud naeltest, mille ümber sai kummidega geomeetrilisi kujundeid moodustada. Kui reaalset olukorda klassis ette kujutada, siis pole kahtlust, et vähemasti osad õpilased leiavad kummidele mõne hoopis lennukama rakenduse kui lihtsalt naelte ümber pingutamine. Selle vältimiseks või siis puht füüsiliselt geotahvlite puudumise tõttu on võimalik tahvli idee rakendamise alternatiivse võimalusena kasutada virtuaalset geotahvlit. Eeldatavalt peaks praeguseks olema kõikides koolides võimalik kasutada internetiühendusega arvuteid. Käesoleva peatüki eesmärgiks on tutvustada üht paljudest internetipõhistest geotahvli elektroonilistest variantidest ning anda ülevaade selle võimalustest. Töö autori meelest üks paremaid Internetist vabalt kättesaadavaid virtuaalseid geotahvleid on loodud 1999. aastal alguse saanud projekti raames Utahi Ülikooli NLVM (National Library of Virtual Manipulatives) arendusmeeskonna poolt. NLVM kollektsiooni kuulub lisaks erinevate geotahvli tüüpide virtuaalsetele variantidele veel üle saja veebipõhise tarkvaraprogrammi (Java-applet i) koos mõnede näiteülesannetega (inglise keeles). Need on jaotatud teemade (arvud; algebra; geomeetria; suurused; andmete analüüs ja tõenäosus) ja vanuseastmete järgi rühmadesse. Virtuaalsete vahendite kasutamine aitab paremini kaasata õpilasi matemaatika õppimise protsessi ning soodustab õpilastel erinevate matemaatika mõistete ja seoste kiiremat ning sügavamat omandamist. [10] Eelnevalt mainitud virtuaalsete vahendite raamatukogu poolt pakutavad erinevate geotahvli tüüpide elektroonilised variandid leiab järgmistelt veebilehtedelt: Ruuttahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_172_g_2_t_3.html Ringtahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_127_g_2_t_3.html Isomeetriline tahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_129_g_2_t_3.html Koordinaattahvel: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html Nende virtuaalsete geotahvlite kasutamiseks on vaja vaid internetiühendusega arvutit, millesse on installeeritud Java. Viimast saab vabalt alla laadida veebilehelt: http://www.java.com. 19

2.1 Virtuaalse geotahvli ekraanipilt Eelnevalt viidatud veebiaadressidelt avaneva virtuaalse geotahvli ekraanipilt (joonis 20) on järgmine: suurimat ala sellest hõlmab tahvli osa ning selle vasakus ääres asub nupuriba. Tahvli osal paiknevad punktid (originaalis naelad) vastavalt tahvli tüübi võrgustiku konstruktsioonile, mida vaatlesime punktis 1.1. Vasakul ääres oleva nupuriba abil on võimalik tahvlile kumme lisada (Bands), värvida kummi poolt moodustatud pindu, kustutada tahvlilt kumme ükshaaval (Delete), puhastada tahvel korraga kõikidest kummidest (Clear) ning lasta programmil arvutada kujundi ümbermõõtu ja pindala (Measures). Viimane nupp on kasutatav neljast väljapakutud elektroonilisest variandist vaid ruut- ja koordinaattahvli puhul. Vastukaaluks on aga virtuaalsete ring- ja isomeetriliste tahvlite puhul võimalik kasutada suurema valikuga värvipaletti. Joonis 20. Virtuaalse ruuttahvli ekraanipilt. 20

2.2 Virtuaalse geotahvli kasutusjuhend Käesolevas peatükis anname esmalt ülevaade eespool tutvustatud virtuaalse geotahvli konkreetsetest võimalustest ning seejärel kirjeldame täpsemalt, kuidas neid võimalusi saab realiseerida. Järgnev põhineb eelnevalt viidatud virtuaalsete tahvlite inglisekeelsetel kasutusjuhenditel. Virtuaalne geotahvel võimaldab teha järgmisi toiminguid: lisada tahvlile kumme; pingutada kumme mitmete (rohkem kui kahe) punktide külge; eemaldada kumm punkti küljest; eemaldada kumm tahvlilt; teha suletud kujundeid; teha avatud kujundeid; värvida pingutatud kummi moodustatud pind; puhastada tahvel täielikult; mõõta kujundite ümbermõõtu ja pindala (ruut- ja koordinaattahvli korral). Järgnevas tutvustame detailselt tegevusi, mida ühe või teise ülaltoodud toimingu puhul tuleb sooritada. Kummi lisamiseks tuleb vajutada (ja hoida all) hiire klahviga (seejuures vasak ja parem klahv funktsioneerivad ühte moodi) geotahvli vasakus nurgas oleval Bands nupul, mille tulemusel ilmub kumm kursori alla. Edasi lohistada kursor geotahvli ühe punkti kohale ja teha klõps (vabastada hiire klahv). Nüüd on kummi ülemine osa punktiga ühendatud. Liigutamaks kummi mõne teise punkti külge on vaja klõpsata kummi ülemisel poolel ning lohistada see soovitud punktini. Kummi pingutamiseks mingi teise punkti külge tuleb klõpsata kummi alumisel osal ja lohistada see järgmise punktini. Kummi pingutamiseks kolmanda punkti külge tuleb klõpsata kummi keskosale, sellega tekitatakse uus punkt. Seejärel lohistada see soovitud geotahvli punktini ja vabastada hiire klahv ning kolmnurk ongi moodustatud. Nelinurga, viisnurga, jne konstrueerimiseks tuleb samuti klõpsata ühel hulknurga külge tähistava kummi keskosal ning lohistada tekitatud punkt järgmise geotahvli punktini. 21

Pingutatud kummi vabastamiseks mõne punkti küljest hoida all klaviatuuri Shiftklahv ning samal ajal hiirega klõpsata sellele punktile, millele enam ei soovita, et kumm oleks pingutatud. Selliselt toimides on nüüd tahvlil n-nurga asemel (n-1)-nurk. Ühe(kaupa) kummi(de) eemaldamiseks klõpsata kõigepealt suvalisel kohal sellel kummil (kumm peab muutuma rasvasemaks siniseks) ning seejärel ekraani vasakus ääres asuval nupul Clear või teise võimalusena võib vajutada ka Delete-klahvi klaviatuuril. Kinnine ehk suletud kujund on kujund, mille moodustab kinnine murdjoon (lõpp- ja alguspunkt kattuvad; nt kolmnurk). Suletud kujundi tegemiseks tuleb kasutada ainult üht kummi, mille peab pingutama kolme või enama punkti külge. Avatud kujund on kujund, mille moodustab lahtine murdjoon (lõpp- ja alguspunkt ei kattu; nt lõik, sirge, nurk, murdjoon). Avatud kujundi tegemiseks võib samuti kasutada vaid ühtainsat kummi või siis mitut kummi, pidades silmas, et vaadeldavat kujundit moodustava murdjoone lülide kõik tipud poleks paarikaupa ühendatud. Ühe kummiga määratud pinna värvimiseks tuleb klõpsata kõigepealt selle kujundi ühel küljel või tipul. Selle tulemusena tähistatakse vaadeldava kujundi küljed rasvasema sinisega, mis tähendab seda, et kujund on valitud. Nüüd klõpsata ühel värvil virtuaalse geotahvli vasakus servas asuval paletil ning märgitud kujund omandab valitud värvi. Geotahvli puhastamiseks vajutada Clear nuppu vasakus ääres ja kõik kummid kustutatakse. Kujundi ümbermõõdu ja pindala leidmiseks ruuttahvlil on vaja esmalt see kujund märgistada (klõpsata kujundi ühel küljel või tipul) ning seejärel vajutada vasakus ääres asuvat nuppu Measures. Märgistatud kujundi mõõtmistulemused ilmuvad viimati nimetatud nupu alla tekstikasti. Peale kujundi muutmist on vaja uute mõõtmistulemuste nägemiseks vajutada uuesti Measures nupule. Koordinaattahvli puhul pole vaja Measures nuppu üldse vajutada, mistõttu seda ka ekraanil näha pole. Mõõtmistulemused ilmuvad automaatselt vasaku ääre allossa niipea kui kumm on pingutatud vähemalt lõiguks. Muutes kujundit, muutuvad automaatselt ka mõõtmistulemused. Kui tahvlil on mitme kummi poolt pingutatud kujundeid, siis näidatakse märgistatud pingutatud kummi poolt moodustatud kujundi andmeid. 22

Lihtsaim kujund, mille korral programm mõõtmistulemusi leiab, on lõik. Iseenesest mõistetavalt lõigu puhul pindala ja ümbermõõt ei oma suurt tähtsust. Seetõttu lõigu korral kajastatakse tekstikastis selle pikkus (Distance) ning tõus (Slope). 23

3 Töölehti geotahvli kasutamiseks Geotahvli kasutamise võimalustest üldisemalt oli juttu juba punktis 1.3. Käesoleva peatüki eesmärgiks on tutvustada mõningaid konkreetseid võimalusi geotahvli rakendamiseks matemaatika tunnis. Magistriõppe lõputöö raames valmis 17 töölehte (ühe töölehe pikkus kuni 2 lehekülge), mis on jaotatud järgmiste teemade põhjal nelja rühma: hulknurga pindala ja ümbermõõt (11 töölehte); - mõiste kujundamine (3 töölehte); - valemi tuletamine (5 töölehte); - rakendamine (2 töölehte); - tükeldamise ja ümbritsemise meetod ( 1 tööleht); koordinaattasand (2 töölehte); kujundite sümmeetria ja teisendused tasandil (2 töölehte); avatud probleemide välju (2 töölehte). Igale töölehtede grupile eelnevad töö autori kommentaarid. Suurem osa töölehtedest on mõeldud kasutamiseks 6. klassis, teemade kolmnurga pindala, koordinaattasand ja sümmeetria käsitlemisel. Esimesi töölehti, pindala ja ümbermõõdu mõiste kujundamiseks ning ristküliku ja ruudu valemi tuletamiseks, võib kasutada nii 6. klassis kordamisel kui juba 4.-5. klassis nimetatud teemade õppimisel. Viimaste töölehtede probleemide uurimiseks üldisel kujul läheb tarvis aga gümnaasiumiastme õpilase teadmisi. Töölehtede koostamisel püüti jälgida, et ülesandeid oleks erinevaid ja nende tekstid sõnastatud võimalikult lihtsalt ja selgelt. Esimese alapunkti töölehed ei sisalda pelgalt virtuaalsel geotahvlil drillimisülesandeid vaid mõningal määral ka teooriaosa, mis on esitatud õpilase kaasahaaramiseks lünktekstina. Valemiteni jõutakse töölehe täitmise käigus tuletamise teel, millele järgnevad rakendusülesanded. Seega sobivad need töölehed ka uue matejali juurde asumiseks. Teise ja kolmanda alapunkti ülesanded on pigem õpitu kinnistamiseks ning neljanda osa materjal õpilastele soovitavalt iseseisvaks uurimiseks. Koostatud töölehed on eelkõige mõeldud kasutamiseks koos elektroonilise geotahvliga. Seejuures enamikke ülesandeid saab edukalt lahendada ka füüsilisel geotahvlil. Raskusi 24

tekib töölehe 3.1.5 täitmisega, kus esimese ülesande tekstis palutakse programmil kujundi pindala leida ja selle põhjal lahendamist jätkata. Töölehtedel 3.1.4, 3.1.7 ja 3.1.8 on alaülesannetes palutud programmil pindala arvutada, kuid need osad võib õpilastel lasta lihtsalt lahendamata jätta. Alapunktide 3.1, 3.3 ja 3.4 töölehed on mõeldud rakendamiseks virtuaalse ruuttahvliga [11]. Koordinaattasandit puudutavate ülesannete lahendamiseks on võimalik kasutada nii virtuaalset ruut- kui ka koordinaattahvlit [12]. Töölehtedel on ruumi kokkuhoiu mõttes esitatud peamiselt 5x5 geotahvli joonised. Virtuaalne geotahvel on aga suurusega 11x11. Vajadusel võib lasta õpilastel teha oma suurele geotahvlile ise väiksem ja see ka näiteks värvida ning alles seejärel suunduda ülesannete lahendamise juurde. Virtuaalse geotahvli kasutamisega saab matemaatikatunde vaheldusrikkamateks muuta. Piret Luige [13] ja Sirje Pihlapi [14] poolt läbi viidud uurimuste põhjal on õpilaste arvates arvutipõhine õpe huvitavam, lõbusam, kergem ja arusaadavam. See ühtlasi suurendab õpilaste õpimotivatsiooni ja parandab suhtumist õppeainesse. 3.1 Hulknurga pindala ja ümbermõõt Vaadeldav alapunkt sisaldab kõige mahukamat osa töölehtedest ja käsitleb peamiselt teemat pindala. Kuna veel teise kooliastme lõpuski kipuvad õpilastel pindala ja ümbermõõdu mõisted segi minema, siis toome alguses töölehed mõlema mõiste kujundamiseks. Käesoleva alapunkti teema pindala (ja ümbermõõt) võime omakorda jagada neljaks osaks: mõiste kujundamine (töölehed 3.1.1 3.1.3); valemi tuletamine (töölehed 3.1.4 3.1.8); rakendamine (töölehed 3.1.9 3.1.10); tükeldamise ja ümbritsemise meetod (tööleht 3.1.11). Esimesed neli töölehte (3.1.1 3.1.4) on mõeldud 6. klassi õpilastele pindala ja ümbermõõdu mõiste ning ristküliku ja ruudu pindala valemite kordamiseks. Samas võib neid kasutada juba 4.-5. klassis nimetatud teemade õppimisel. 25

Töölehtedega 3.1.5 3.1.8 taotletakse õpilaste jõudmist avastamise-tuletamise teel kolmnurga pindala valemini. Nende töölehtede kasutamiseks peavad õpilastel olema eelnevalt selged kolmnurga aluse ja kõrguse mõisted. Tee kolmnurga pindala valemini näeb välja järgmine. Kõigepealt uuritakse kuidas muutub suvalise kolmnurga pindala kui muuta tema aluse ja/või kõrguse pikkuseid. Seejärel tuletatakse seos ristküliku pindala ja täisnurkse kolmnurga pindala vahel meenutades kolmnurkade võrdsuse tunnust kolme külje järgi. Kinnistamiseks leitakse erinevates asendites paiknevate täisnurksete kolmnurkade pindalad. Edasi tuletatakse juba täisnurkse kolmnurga pindala valem, millele järgnevad ülesanded kinnistamiseks. Viimaks tuletatakse pindala valem suvalise kolmnurga jaoks ning kinnistatakse saadud uut teadmist varasemaga kõrvutades samuti ülesande lahendamisega. Töölehtedel 3.1.9 ja 3.1.10 olevate ülesannete lahendamiseks on vaja rakendada töölehega 3.1.5 omandatud teadmisi. Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmise ülesanne võib olla jõukohane vaid nutikamatele õpilastele. Hulknurga pindala leidmise töölehega 3.1.11 näidatakse, et alati ei olegi vaja mingi kujundi pindala arvutamiseks teada keerulisi valemeid, piisab vaid sellest kui jaotada esialgne ülesanne väiksemateks osaülesanneteks. Selleks tutvustatakse tükeldamise ja ümbritsemise meetodeid, mida õpilased saavad hiljem ise erinevate kujundite pindalade leidmiseks rakendada. 26

3.1.1 Pindala mõiste Kuidas leida pindala? Joonisel olev kujund on ühikruut, mille valime edasises pindalaühikuks. Ühikruudu küljepikkus on 1 pikkusühik. Lisa. Üldiselt võib ühikruut olla ükskõik kui suur. Näiteks kui ühikruuduks on Näide. Mingi kujundi pindala leidmiseks võrreldakse seda kujundit ühikruuduga. Näiteks allolev kujund koosneb 5 ühikruudust, igaüks küljepikkusega 1 ühik. Järelikult selle plussmärgikujulise kujundi pindala on 5 ruutühikut. siis kujundi pindala on 3 ruutühikut. Ülesanne 1. Tee iga kujund oma virtuaalsele geotahvlile ja leia tema pindala. Selleks jaota iga kujund ühikruutudeks ja loe kokku mitmest ühikruudust see koosneb. Iga ühikruudu tähistamiseks pinguta eraldi kumm ja värvi kujund. a) Pindala:... ruutühikut (rü) b) Pindala:... ruutühikut (rü) c) Pindala:... ruutühikut d) Pindala:... ruutühikut e) Pindala:... ruutühikut f) Pindala:... ruutühikut 27

Ülesanne 2. Pinguta iga skeemil olev kujund oma geotahvlile. Leia nende pindalad jagades need ühikruutudeks või poolteks ühikruutudeks. Pane kirja mitut ühikruutu iga kujund sisaldab. a) Pindala:... rü b) Pindala:... rü c) Pindala:... rü d) Pindala:... rü e) Pindala:... rü f) Pindala:... rü g) Pindala:... rü h) Pindala:... rü Ülesanne 3. Pinguta geotahvlile sellised kaks erineva kujuga ristkülikut, mille pindala on 4 ruutühikut. Joonesta mõlemad eraldi allolevatele geotahvlitele. Ülesanne 4. Täida lünk. Kujundi pindala näitab, mitu... katab täielikult kujundi. 28

3.1.2 Ümbermõõdu mõiste Kuidas leida ümbermõõtu? Joonisel olev kujund on ühikruut, mille valisime eelnevalt pindalaühikuks. Ühikruudu küljepikkus on pikkusühik, mida võime nimetada ka ühiklõiguks. Näide. Mingi kujundi ümbermõõdu leidmiseks liidetakse tema kõigi külgede pikkused. Allolevat kujundit piirava joone pikkus koosneb 12-st ühikruudu küljepikkusest ehk 12 ühiklõigust. Järelikult selle kujundi ümbermõõt on 12 pikkusühikut. Ülesanne 1. Tee iga kujund oma virtuaalsele geotahvlile ja leia mitmest ühiklõigust koosneb seda kujundit piirav joon. a) Ümbermõõt:... pikkusühikut (pü) b) Ümbermõõt:... pikkusühikut (pü) c) Ümbermõõt:... pikkusühikut d) Ümbermõõt:... pikkusühikut e) Ümbermõõt:... pikkusühikut f) Ümbermõõt:... pikkusühikut Ülesanne 2. Täida lünk. Kujundi ümbermõõt näitab, mitmest... koosneb kujundit piirav joon. 29

3.1.3 Kujundi pindala ja ümbermõõt Ülesanne 1. Pinguta iga kujund oma geotahvlile ja leia ühikruutude abil selle ümbermõõt ja pindala. a) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü b) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü c) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü d) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü e) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü f) Ümbermõõt:... pü Pindala:... rü Ülesanne 2. Konstrueeri ristkülikud, mille: a) pindala on 4 ja ümbermõõt on 10; b) ümbermõõt on 8 ja pindala on 4; c) ümbermõõt on 10 ja pindala on 6; d) pindala on 16 ja ümbermõõt on 16. 30

3.1.4 Ristküliku ja ruudu pindala valemi tuletamine Ülesanne 1. Ühikruudu külg on pikkusühik. Olgu ristküliku pikkus a ühikut ja laius b ühikut. Pindala tähistame tähega S. Pinguta iga kujund oma geotahvlile ja leia otsitavad suurused ühikruutude loendamise teel. a) a =... b =... S =... b) a =... b =... S =... c) a =... d) a =... b =... b =... S =... S =... Ülesanne 2. Täida lüngad. a) Vaata ülesandes 1 leitud suuruste a, b ja S väärtuseid. Kuidas saad arvude a ja b abil arvutada ristküliku pindala? Kirjuta vastav valem.... Järelikult ristküliku pindala sõltub ristküliku... ja laiusest. b) Ristküliku erijuhuks on ruut. Ruudu lähisküljed on... pikkustega. Järelikult, ruudu pindala = külje pikkus... Tähistame ruudu külje pikkuse tähega a, siis ruudu pindala saame arvutada valemiga: S =...... = a 2 Ülesanne 3. Pinguta järgmised ristkülikud oma geotahvlile ja leia nende pindalad: a) ühikruutude loendamise teel; b) valemi abil; c) kasutades virtuaalse geotahvli nuppu Measures. a)... b)... c)... a)... b)... c)... Ülesanne 4. Kas ristküliku pindala saab arvutada ruudu pindala valemi järgi?... Aga ruudu pindala ristküliku pindala valemi järgi?... Põhjenda, miks sa nii vastasid....... Pea meeles! Ristküliku pindala = pikkus laius S = a b Ruudu pindala = külje pikkus külje pikkus S = a a 31

3.1.5 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest Ülesanne 1. Pinguta oma geotahvlile 5x5 ruut ja konstrueeri sellele paralleelsed sirged s ja t (vt joonis 1). Järgnevalt konstrueeri ühe kummi abil kolmnurk KLA ja värvi see. Seejärel nihuta kolmnurga ülemine tipp punktist A punkti B, siis punkti C kuni lõpuks punkti E. Iga kolmnurga korral leia tema alus ning määra aluse ja kõrguse pikkus. Kolmnurga pindala (ingl. k Area) leidmiseks kasuta geotahvli nuppu Measures. Ühikruudu pikkus on üks ühik. Märgi tulemused Joonis 1. tabelisse ja vasta allpool olevatele küsimustele. Kolmnurk Kolmnurga alus Aluse pikkus KLA KL 3 KLB KL 3 Kõrguse pikkus Kolmnurga pindala KLC KL KLD 4 KLE Vasta järgmistele küsimustele tõmmates õigele variandile ringi ümber või täites lünga. a) Kui nihutad kolmnurga KLA ülemise tipu A vastavalt punktidesse B, C, D ja E, siis kolmnurga: kõrguse pikkus suureneb / väheneb / ei muutu; aluse pikkus suureneb / väheneb / ei muutu; pindala suureneb / väheneb / ei muutu. b) Kuidas muutub kolmnurga pindala kui muudame kolmnurga kuju, kuid seejuures jätame aluse ja kõrguse pikkused muutmata?... Saime, et võrdsete aluste ja võrdsete kõrgustega kolmnurkade pindalad on võrdsed. Seega, kolmnurga pindala võib sõltuda kolmnurga alusest ja kõrgusest. Järgnevates ülesannetes uurime seda. Ülesanne 2. Muuda nüüd kolmnurga kõrgust. Nihuta selleks kolmnurga ülemist tippu punktidesse, mis asuvad ülevalpool ja allpool sirget s (vt joonis 2). Täida tabel ja vasta küsimustele. Kolmnurk Kolmnurga alus Aluse pikkus Kõrguse pikkus KLA KL 3 4 Kolmnurga pindala KLF KL KLG Joonis 2. 32

Vasta järgmistele küsimustele või tõmba maha valed vastusevariandid. a) Kuidas muutub kolmnurga kõrgus kui nihutada kolmnurga ülemine tipp punktist A punkti F?... Kuidas muutub samal ajal kolmnurga aluse pikkus?... Kuidas muutub kolmnurga KLF pindala võrreldes kolmnurga KLA pindalaga?... b) Kui nihutame kolmnurga ülemise tipu punktist A punkti G. Siis kolmnurga: alus suureneb / väheneb / ei muutu; kõrgus suureneb / väheneb / ei muutu; pindala suureneb / väheneb / ei muutu. c) Kuidas muutub kolmnurga pindala kui suurendame või vähendame kolmnurga kõrgust?...... Ülesanne 3. Uuri analoogiliselt ülesandele 2, kuidas muutub kolmnurga pindala aluse suurendamisel ja vähendamisel kui kolmnurga kõrgus jätta muutmata. Seejärel täida lüngad. Kui kolmnurga kõrgus jätta muutmata ja suurendada kolmnurga alust, siis kolmnurga pindala... võrreldes esialgse kolmnurgaga. Kui aga kolmnurga kõrgus jätta muutmata ja vähendada kolmnurga alust, siis kolmnurga pindala... võrreldes esialgse kolmnurgaga. Ülesanne 4. Märgi iga järgmise lause kõrvale, kas see on tõene või väär. Kolmnurga pindala jääb samaks kui muudame kolmnurga kuju, aga ei muuda samal ajal aluse ja kõrguse pikkuseid.... Kui suurendame kolmnurga alust ja kõrgust mõlemat, siis kolmnurga pindala väheneb.... Kolmnurga pindala suureneb kui aluse pikkuse jätame samaks ja suurendame kõrguse pikkust.... Ülesanne 5. Täida tabel geotahvli abil. Sümbolite tähendused on toodud tabeli kõrval. Ühte lahtrisse võib sobida ka kaks sümbolit. Aluse pikkus Kõrguse pikkus Kolmnurga pindala - suureneb - väheneb - ei muutu 33

3.1.6 Täisnurkse kolmnurga pindala leidmine ristküliku pindala meetodil Ülesanne 1. Täida lüngad. Konstrueeri geotahvlile täisnurkne kolmnurk ABC. Pinguta sellele teise kummiga kolmnurk ABD, mis täiendab esialgse kolmnurga ristkülikuni, nii nagu näidatud joonisel. Võrdle kolmnurki ABC ja ABD. Kolmnurkade horisontaalsed küljed (BC ja AD) on ristküliku CBDA vastasküljed ja seega... pikkusega. Kolmnurkade vertikaalsed küljed (AC ja BD) on samuti ristküliku CBDA... ja seega... pikkusega. Kolmnurkade kolmas külg on neil ühine ja seega... pikkusega. Kuna kolmnurga ABC kolm külge on vastavalt võrdsed kolmnurga ABD kolme küljega, järelikult need kolmnurgad on kolmnurkade võrdsuse tunnuse... põhjal võrdsed. Sellest järeldub, et nende kolmnurkade pindalad on ka.... Oleme saanud, et ristküliku diagonaal jaotab ristküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. Seega täisnurkse kolmnurga ABC pindala on... ristküliku pindalast. Ülesanne 2. Pinguta iga täisnurkne kolmnurk oma geotahvlile ja leia selle pindala ristküliku pindala meetodil. Selleks täienda antud kolmnurk kõigepealt ristkülikuni, leia selle pindala loendamise teel ja seejärel arvuta kolmnurga pindala. a) S =... rü b) S =... rü c) S =... rü d) S =... rü 34

3.1.7 Täisnurkse kolmnurga pindala valemi tuletamine Ülesanne 1. Tuleta valem täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, täida lüngad. Konstrueeri täisnurkne kolmnurk ABC ja täienda seda teise kummiga ristkülikuni (vt joonist paremal). Ristküliku pindala valemit sa juba tead. Vastavalt joonise tähistusele saad selle kirja panna järgmiselt: S =....... CBDA Et ristküliku diagonaal AB jaotab ristküliku CBDA kaheks... kolmnurgaks, siis järelikult ühe tekkinud täisnurkse kolmnurga pindala on... ristküliku pindalast. Seega...... S ABC =. 2 See tähendab, et täisnurkse kolmnurga ABC pindala võrdub kaatetite poole korrutisega. Täisnurkse kolmnurga ABC kaatet b on ühtlasi kolmnurga..., mille võime tähistada tähega h. Nüüd saame valemi kirjutada kujul...... S ABC =.... Ülesanne 1. Pinguta järgmised täisnurksed kolmnurgad geotahvlile ning leia nende kolmnurkade pindalad valemi abil. Kolmnurkade mõõtmed loe jooniselt. a) b) c)...... S = =... rü... d)...... S = =... rü... e)...... S = =... rü... f)...... S = =... rü......... S = =... rü......... S = =... rü... Kui ühikruudu pikkus on üheks pikkusühikuks, siis üheks pindalaühikuks on...(mille?)...(mis?). 35

Ülesanne 2. Pinguta järgmised täisnurksed kolmnurgad geotahvlile ning leia nende pindalad kolmel viisil: 1) ristküliku pindala meetodil; 2) valemi abil; 3) nupuga Measures. a) Ristküliku pindala meetodil: S =... rü Valemi abil: S =... =... rü Nupuga Measures: S =... rü b) Ristküliku pindala meetodil: S =... rü Valemi abil: S =... =... rü Nupuga Measures: S =... rü c) Ristküliku pindala meetodil: S =... rü Näpunäide. Vaatle eraldi punktiiriga eraldatud kaht täisnurkset kolmnurka. Valemi abil: S =... =... rü Nupuga Measures: S =... rü d) Ristküliku pindala meetodil: S =... rü Valemi abil: S =... =... rü Nupuga Measures: S =... rü Ülesanne 3. Kuidas on seotud alaülesannetes c) ja d) olevate kolmnurkade pindala ja nende ümber pingutatava vähima ristküliku pindala?...... 36

3.1.8 Suvalise kolmnurga pindala valemi tuletamine Ülesanne 1. Pinguta oma geotahvlile ristkülik külgedega 7 ja 4 ühikut ning selle sisse kolmnurk nagu näidatud joonisel: Täida lüngad või selgita. a) Mõõda ristküliku ja kolmnurga pindalad (ingl. k Area) kasutades nuppu Measures. Ristküliku pindala:... ruutühikut Kolmnurga pindala:... ruutühikut Mitu korda ja kuidas erineb kolmnurga pindala ristküliku pindalast?... b) Liiguta nüüd kolmnurga ülemist tippu mööda ristküliku ülemist serva ja mõõda igal sammul kolmnurga pindala. Mida märkad?... c) Võta uus kumm ja kinnita see kolmnurga ülemise tipu külge. Teine ots pinguta ristküliku alumise küljeni nii, et pingutatud kumm jääks risti kolmnurga alusega. Viimati pingutatud kumm tähistab kolmnurga... ja see jaotab esialgse kolmnurga kaheks...(mis liiki, nurkade järgi?) kolmnurgaks, mille pindalasid juba oskad leida. Järelikult esialgse kolmnurga pindala saad kui leiad nende kahe täisnurkse kolmnurga pindalad eraldi ning tulemused.... Tee seda. Vaata paremal asuvat joonist. Kolmnurga OPR aluseks on külg... ja lõik SR on siis selle kolmnurga.... Leia joonise abil järgmised pikkused. OS =...; SP =...; OS + SP = a =...; SR = h =.... Arvuta täisnurksete kolmnurkade OSR ja RSP pindalad:...... S OSR = =... (rü);......... S RSP = =... (rü).... Kolmnurga OPR pindala saad nüüd kui liidad nende kolmnurkade pindalad kokku, S =... +... =... (rü). OPR 37

Samale tulemusele jõuad kui ühendad kaks võrdust: (... +...).................. +......... S OPR = S OSR + S RSP = + = = =.................. =. 2 Vaata viimase võrduse algust ja lõppu. Sa näed, et kolmnurga OPR pindala arvutamiseks tuleb kolmnurga alus korrutada tema kõrgusega ja tulemus jagada kahega. Veendu selles vaadates kolmnurga OPR aluse ja kõrguse pikkuseid. Seega, kolmnurga pindala võrdub aluse (a) ja kõrguse (h) poole korrutisega. Valemi võid kirjutada kujul...... S =.... Ülesanne 2. Pinguta iga kolmnurk oma geotahvlile ja leia selle pindala kahel viisil: valemi abil ja ristküliku pindala meetodil. a)...... S = =... rü... b)...... S = =... rü... S =... rü S =... rü c) d)...... S = =... rü......... S = =... rü... S =... rü S =... rü e) f)...... S = =... rü......... S = =... rü... S =... rü S =... rü Kontrolli oma tulemusi virtuaalse geotahvli nupu Measures abil. 38

3.1.9 Kolmnurga pindala sõltuvus alusest ja kõrgusest (rakendus) Ülesanne 1. Joonisel on kujutatud Madli ja Heli vanaemade põllulapid. Kahe põllu vahel on aed, mis vajab väljavahetamist. a) Kui suur on Madli vanaema põllupindala?... b) Kui suur on Heli vanaema põllupindala?... Vanaemad tahaksid vana nurgelise aia asendada sirgjoonelise aiaga. Seejuures kummagi põllu pindala ei tohi muutuda ning üks vana aia äärepostidest peab jääma samale kohale. Olles ise hätta jäänud palusid nad Madlilt ja Helilt abi. Peale väikest mõttetööd jõudsid mõlemad tüdrukud erinevate lahendusteni, mis aga mõlemad rahuldasid vanaemade soove. c) Leia sinagi vähemalt 2 võimalikku lahendust ja joonista need. Näpunäide: Kasuta töölehe 3.1.5 ülesande 1 ideed. d) Kumb uutest aedadest on lühem? Kas see on lühem ka esialgsest aiast?...... 39

3.1.10 Nelinurgaga pindvõrdse kolmnurga leidmine Ülesanne 1. Pinguta allolevad nelinurgad oma geotahvlile. Tekita saadud nelinurkadest nendega pindvõrdsed kolmnurgad. Seejuures kolmnurga saamiseks võid nelinurgal nihutada vaid üht tippu. Näpunäide: Kasuta paralleelsete sirgete vahel asuva kolmnurga ideed. Vaata esimese alaülesande a) joonisel olevaid abijooni. Vajadusel pinguta oma geotahvlile paralleelseid sirgeid tähistavad kummid. Püüa leida c), d) ja e) puhul rohkem kui üks sellist kolmnurka, mis erineva kujuga ja antud nelinurgaga sama pindalaga. Kontrolli, kas pindala jäi ikka endiseks ja seejärel joonesta erinevaid võimalikke variante kolmnurkadest tühjadele joonistele. a) b) c) d) e) 40

3.1.11 Hulknurga pindala Ülesanne 1. Leia joonisel oleva nelinurga pindala. S =... rü Sellise kujundi pindala ei oska ilmselt sa veel leida, kuna usud, et ei tea seda valemit. Vahel aitab eesmärgini jõuda ülesande jaotamine väiksemateks osadeks. Selle mõistmiseks uuri järgmist kaht meetodit hulknurga pindala leidmiseks. Seejärel proovi esialgne küsimus ära lahendada. Näide 1. Jaotame selle kujundi väiksemateks osadeks, millede pindala oskame leida. Seejärel leiame pindalad ja liidame tulemused. Uurime järgmise kujundi pindala leidmist. Siin on esialgne kujund jaotatud viieks väiksemaks kujundiks, leitud nende pindalad ning tulemused liidetud. Kogu kujundi pindala on seega 7 rü. Näide 2. Teisel juhul moodustame vaadeldava kujundi ümber ristküliku ja leiame selle pindala. Seejärel lahutame otsitavasse kujundisse mittekuuluvate osade pindalad. Antud juhul on kujundi ümber moodustatud ristkülik (ruut) pindalaga 16 rü. Kujundist väljapoole jääva osa pindala on 8 rü, seega kujundi enda pindala ka 8 rü. Ülesanne 2. Konstrueeri allolevad kujundid oma geotahvlile ja leia nende pindalad. Vasakpoolsel joonisel oleva kujundi pindala leidmiseks kasuta näites 1 ja parempoolsel joonisel näites 2 vaadeldud võtet. Pinguta tahvlile lisakumme osakujundite tähistamiseks. Joonesta osakujundeid tähistavad lõigud ka lehel olevatele kujunditele näitamaks, kuidas sa kujundi osadeks jaotasid. S =... rü S =... rü 41

Ülesanne 3. Konstrueeri iga allolev kujund oma geotahvlile ja leia tema pindala. Kasuta selleks näidetes 1 või 2 tutvustatud meetodit omal valikul. Pinguta tahvlile lisakumme osakujundite tähistamiseks. Joonesta osakujundeid tähistavad lõigud ka lehele näitamaks, kuidas sa kujundi osadeks jaotasid. S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü S =... rü 42