REIFIKÁCIA ZLOMKOV VO VZŤAHU K OSOBNEJ POTREBE ŠTRUKTÚRY

Transcription

1 REIFIKÁCIA ZLOMKOV VO VZŤAHU K OSOBNEJ POTREBE ŠTRUKTÚRY

2

3 Reifikácia zlomkov vo vzťahu k osobnej potrebe štruktúry VALÉRIA ŠVECOVÁ GABRIELA PAVLOVIČOVÁ ĽUBOMÍR RYBANSKÝ LUCIA KLIMENTOVÁ

4 Vzor citace: ŠVECOVÁ, V., PAVLOVIČOVÁ, G., RYBANSKÝ. Ľ., KLIMENTOVÁ, L. Reifi kácia zlomkov vo vzťahu k osobnej potrebe štruktúry. Praha: Wolters Kluwer ČR, s. Autori: PaedDr. PhDr. Valéria Švecová, PhD. doc. PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. RNDr. Ľubomír Rybanský, PhD. Mgr. Lucia Klimentová Recenzenti: prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. PhDr. Ivan Sarmány-Schuller, CSc Wolters Kluver ČR Publikácia bola vytvorená v rámci projektu VEGA č. 1/0948/16 Vplyv osobnej potreby štruktúry a psychodidaktických aspektov na rozvoj matematických kompetencií ISBN

5 OBSAH Zoznam skratiek... 7 Zoznam ilustrácií a tabuliek... 9 Predslov Úvod TEORETICKÁ ČASŤ Osobná potreba štruktúry Osobná potreba štruktúry a matematika Teória reifikácie podľa Sfardovej Aktuálne štúdie k problematike zlomkov Propedeutika zlomkov na primárnom stupni vzdelávania na Slovensku Zavádzanie zlomkov na primárnom stupni vzdelávania v zahraničí Rôzne interpretácie pojmu zlomok Zlomok ako časť celku Zlomok ako miera Zlomok ako pomer Zlomok ako operátor Zlomok ako podiel Vzťah subkonštruktov zlomkov a práce so zlomkami Test zameraný na zlomky Niektoré miskoncepcie v porozumení zlomkom

6 OBSAH METODOLOGICKÁ ČASŤ Výskum Výskumná vzorka Metódy spracovania testu o zlomkoch Analýza dát Spracovanie testu o zlomkoch Reliabilita testu Dimenzionalita Výber vhodného modelu DIF Odhad parametrov položiek testu Zhluková analýza Faktorové skóre, reliabilita, TIF, IIF Zhrnutie výsledkov zisťovania vhodnosti použitého testu na zlomky a vedomostí študentov Spracovanie dotazníka PNS Metódy na spracovanie dotazníka PNS Analýza dát GRM model Mnohorozmerný model odstupňovaných odpovedí (MGRM) Reliabilita Dimenzionalita a výber vhodného modelu Odhad parametrov položiek PNS dotazníka a ability estimates Výsledky výskumu a diskusia Záver Resume O autoroch Zoznam použitej literatúry

7 ZOZNAM SKRATIEK AACS CFA CFI CTT DIF EAP FT F1 F2 GRM ICC IRT ISCED LL LR test MAP MGRM MH MIRT ML MVN PCM PEP PNS PNS_D PNS_R RMSEA r_pb TIF UPV Ability to Achieve Cognitive Structure Confirmatory Factor Analysis The Comparative Fit Index Classical Test Theory Differential Item Functioning Expected a Posteriori Fraction test Subfaktor škály PNS: želanie štruktúry Subfaktorškály PNS: reakcia na chýbanie štruktúry Graded Response Model Item Characteristic Curve Item Response Theory The International Standard Classification of Education Loglikelihood Likelihood Ratio Tests Maximum a Posteriori Multidimensional Graded Response Model Mantel Haenszelova metóda Multidimensional Item Response Theory Maximum Likelihood Multivariate Normality Partial Credit Model Predškolská a elementárna pedagogika Personal Need for Structure Desire for Structure Response to Lack of Structure Root Mean Square Error of Approximation PointBiserial Correlation Coefficient Test Information Function Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie 7

8 ZOZNAM SKRATIEK VEGA Vedecká grantová agentúra Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky a Slovenskej akadémie vied 8

9 ZOZNAM ILUSTRÁCIÍ A TABULIEK ZOZNAM OBRÁZKOV Obrázok 1 Tabuľka matematických výrazov Obrázok 2 Trojuholníkový test 1 vľavo (a), Trojuholníkový test 2 vpravo (b) Obrázok 3 Mongeanova projekcia Platónskych telies Obrázok 4 Ukážky vyriešených úloh určené žiakom 3. ročníka ZŠ Obrázok 5 Ukážky úloh určené žiakom 4. ročníka Obrázok 6 Porovnávanie zlomkov s rozdielnymi menovateľmi Obrázok 7 Súbor objektov rozdelený na polovice Obrázok 8 Rôzne modely zlomkov Obrázok 9 Znázornenie zlomkov Obrázok 10 Znázornenie zlomkov na číselnej osi Obrázok 11 Modely na sčítavanie zlomkov Obrázok 12 Možnosti vyjadrenia výsledku pri spravodlivom rozdelení dvoch pízz trom deťom Obrázok 13 Rôzne spôsoby zavedenia zlomku jedna tretina Obrázok 14 Znázornenie troch pätín Obrázok 15 Znázornenie dvanásť dvadsatín Obrázok 16 Znázornenie šesť desatín Obrázok 17 Znázornenie jednotkovej úsečky dĺžky 1 Obrázok 18 Definovanie celku na číselnej osi a na množine diskrétnych alebo spojitých objektov Obrázok 19 Spojitosť jednotkových úsečiek Obrázok 20 Neobmedzené rozdeľovanie jednotkových úsečiek Obrázok 21 Znázornenie zlomku Obrázok 22 Ukážka úlohy na nájdenie operátora Obrázok 23 Vplyv operátora na plošný obsah a dĺžku úsečky Obrázok 24 Znázornenie úlohy na rozdelenie pizze Obrázok 25 Teoretický model spájajúci päť subkonštruktov zlomkov s rôznymi operáciami so zlomkami a riešením úloh Obrázok 26 Pôvodná verzia testu 9

10 ZOZNAM ILUSTRÁCIÍ A TABULIEK Obrázok 27 Modifikovaný test zameraný na zlomky Obrázok 28 Študentské riešenie 1 Obrázok 29 Študentské riešenie 2 Obrázok 30 Študentské riešenie 3 Obrázok 31 Študentské riešenie 4 Obrázok 32 Študentské riešenia 5,6 a 7 Obrázok 33 Študentské riešenie 8 Obrázok 34 Študentské riešenie 9 Obrázok 35 Študentské riešenia 10 a 11 Obrázok 36 Študentské riešenie 12 Obrázok 37 Študentské riešenie 13 Obrázok 38 Študentské riešenie 14 Obrázok 39 Študentské riešenie 15 Obrázok 40 Študentské riešenie 16 Obrázok 41 Študentské riešenie 17 Obrázok 42 Študentské riešenie 18 Obrázok 43 Študentské riešenie 19 Obrázok 44 Študentské riešenie 20 Obrázok 45 Študentské riešenie 21 Obrázok 46 Študentské riešenie 22 Obrázok 47 Študentské riešenie 23 Obrázok 48 Študentské riešenie 24 Obrázok 49 Študentské riešenie 25 Obrázok 50 Korelogram vzájomnej korelácie položiek z testu o zlomkoch Obrázok 51 Charakteristické krivky položiek A1 C7 Obrázok 52 Informačná funkcia testu a chyba merania Obrázok 53 Informačné funkcie položiek testu Obrázok 54 Vnútorná konzistencia položiek na škále latentnej premennej Obrázok 55 Histogramy latentnej premennej v skupinách PEP a UPV Obrázok 56 Grafická reprezentácia troch modelov Obrázok 57 Stĺpcové grafy položiek PNS dotazníka. Obrázok 58 Korelogram položiek PNS Obrázok 59 Histogram premenných PNS_D, PNS_R. Obrázok 60 Q-Q graf na posúdenie dvojrozmernej normality, testovanie prítomnosti mnohorozmerných outlierov Obrázok 61 Grafy zobrazujúce vzťahy medzi jednotlivými premennými 10

11 ZOZNAM ILUSTRÁCIÍ A TABULIEK ZOZNAM TABULIEK Tabuľka 1 Rôzne teórie kognitívneho vývinu Tabuľka 2 Reliabilita testu zameraného na zlomky Tabuľka 3 Miery kvality IRT modelov Tabuľka 4 Výsledky MH metódy Tabuľka 5 Percento úspešnosti riešenia v každej položke, faktorová záťaž, diskriminačný parameter položky, náročnosť položky..... Tabuľka 6 Zhlukovanie 21 položiek testu o zlomkoch procedúrou pattern clustering. Tabuľka 7 Zhluková analýza 21 položiek do šiestich zhlukov Tabuľka 8 Výsledky testu zameraného na zlomky Tabuľka 9 Percentuálne zastúpenie jednotlivých odpovedí v položkách PNS dotazníka Tabuľka 10 Reliabilita škály PNS Tabuľka 11 Výber vhodného modelu Tabuľka 12 Odhady parametrov pre MGRMs Tabuľka 13 Výsledky testov mnohorozmernej normality Tabuľka 14 Charakteristika rozptylov a odhad korelácie podľa skupín (PEP, UPV) Tabuľka 15 Porovnanie prirodzených čísel a zlomkov 11

12 PREDSLOV Publikácia Reifi kácia zlomkov vo vzťahu k osobnej potrebe štruktúry je zameraná na vysoko aktuálnu problematiku aplikácie poznatkov zo psychológie osobnosti v teórii vyučovania matematiky. V centre záujmu je osobná potreby štruktúry a riešenie úloh so zlomkami v prepojení na poznávací proces v matematike. Matematika ako vyučovací predmet je spätá s rôznymi algoritmami, pravidlami, vzorcami, atď. Práve to môže predstavovať akúsi štruktúru, ktorá napomáha študentom zorientovať sa vo svete matematiky, vo svete abstraktných predstáv. To bolo aj jedným z dôvodov, prečo sme sa rozhodli skúmať vzťah medzi osobnou potrebou štruktúry a vybraným matematickými vedomosťami. Pri stanovení úrovní vedomostí študentov o zlomkoch sme vychádzali z teórie reifikácie, ktorej autorkou je Anna Sfard. Výskumné zistenia prezentované v tejto publikácií sú určené širšej odbornej verejnosti, psychológom ako aj pedagógom a učiteľom matematiky. Ponúkajú iný pohľad na úspešnosť, resp. neúspešnosť študentov pri riešení matematických úloh. Autori 12

13 ÚVOD Konštrukt osobnej potreby štruktúry je teoreticky založený na predpoklade schopnosti jednotlivca redukovať neurčitosť situácie, ktorá je spojená s väčšou schopnosťou riešiť nové situácie alebo zvládať stresové situácie. Neuberg a Newsom (1993) identifikovali dva konceptuálne rozlíšiteľné prvky potreby štruktúry. Jeden sa vzťahuje na rozsah, v akom ľudia chcú nastoliť štruktúru vo svojom každodennom živote, tzv. želanie štruktúry. Ľudia s vysokým želaním štruktúry majú radi jasný a štrukturovaný spôsob života a pevné miesto pre všetko. Druhý prvok potreby štruktúry, reakcia na chýbanie štruktúry označuje, ako ľudia reagujú na neštrukturované, nepredvídateľné situácie. Ľudia, ktorí výrazne nemajú radi neisté situácie alebo zmenu vo svojich plánoch na poslednú chvíľu, skórujú vysoko v chýbaní štruktúry. Aktuálne medzinárodne štúdie poukazujú na potrebu aplikácie nástrojov merania potreby štruktúry pri skúmaní rozvoja matematických kompetencií, čo sa javí v celoslovenskom význame ako málo preskúmaná oblasť. Preto sme aj my svoju pozornosť upriamili na vplyv osobnej potreby štruktúry na vybrané matematické kompetencie. Žiaci nadobúdajú vedomosti rôznymi spôsobmi. V procese formovania matematických poznatkov ide najmä o procedurálne (zamerané na procesy, vyžadujú znalosť algoritmov) alebo konceptuálne (vyjadrujú vzájomné vzťahy medzi základnými prvkami väčšej štruktúry) nadobúdanie vedomostí. Vedecká monografia je koncipovaná v dvoch častiach, teoretickej a metodologickej. V teoretickej časti sa venujeme teoreticko-metodologickej analýze jednotlivých premenných, ktoré sme výskumne overovali. V prvých štyroch kapitolách sú spracované teoretické východiská. Prvá kapitola sa zaoberá psychologickými aspektmi osobnej potreby štruktúry a jej vplyvom na matematické vedomosti žiakov, prípadne študentov. V druhej kapitole sú spracované aktuálne štúdie k problematike zlomkov. Zároveň sa v nej venujeme propedeutike zlomkov na primárnom stupni vzdelávania na Slovensku a v zahraničí. V tretej kapitole sa nachádzajú rôzne interpretácie pojmu zlomok, t.j. zlomok ako časť celku, zlomok ako miera, zlomok ako pomer, zlomok ako operátor, zlomok ako podiel. 13

14 ÚVOD Štvrtá kapitola je venovaná teórii reifikácie, ktorej autorkou je Sfard. Táto kapitola obsahuje aj test zameraný na zlomky. Na štvrtú kapitolu priamo nadväzuje piata kapitola, ktorá je zameraná na niektoré miskoncepcie v porozumení zlomkom. Piata kapitola zároveň obsahuje analýzu študentských riešení testu zameraného na zlomky. Ďalšie kapitoly, šiesta až desiata tvoria metodologickú časť práce. V nich je opísaná výskumná vzorka, použité výskumné metódy, stanovené hypotézy a ich následne overovanie. V tejto časti je spracovaný a vyhodnotený test o zlomkoch, ako aj dotazník osobnej potreby štruktúry (PNS). V závere výskumnej časti zisťujeme, či, prípadne ako sú závislé matematické kompetencie od premennej osobná potreba štruktúry. Poslednú časť výskumu tvorí diskusia. 14

15 Teoretická časť

16

17 1 Osobná potreba štruktúry Psychológia kognitívneho vývinu definuje kognitívne kompetencie človeka v postupných vývinových štádiách. Teda špecifikuje, ktoré aspekty sveta môžu byť pochopené v rôznom veku, ktoré druhy pojmov môžu byť konštruované a aké typy problémov môžu byť vyriešené v jednotlivých štádiách kognitívneho vývinu. Ďalším aspektom je, že psychológia kognitívneho vývinu zahŕňa porozumenie kognitívnym zmenám a poznanie faktorov a procesov, ktoré umožňujú rozvoj kognitívnych kompetencií. Ako uvádza Pavlovičová (2012) vzdelávanie a psychológia kognitívneho vývinu sa spájajú v množstve kľúčových predpokladov. Vzdelávanie taktiež ovplyvňuje kognitívne zmeny. Prenos informácií a budovanie poznatkov si vyžaduje efektívne vyučovacie metódy, ktoré musia umožňovať študentom prechod z nižšej do vyššej úrovne porozumenia alebo opustiť menej efektívne metódy kvôli efektívnejším. Podľa Sternberga (2002) kognitívna psychológia študuje, ako ľudia informácie vnímajú, učia sa ich, pamätajú si ich a premýšľajú o nich. Kognitívna psychológia: pri získavaní a organizácií poznatkov využíva racionalizmus (základ vývoja teórie) ako aj empirizmus (základ zberu dát); zdôrazňuje závažnosť kognitívnych štruktúr i procesov; kladie dôraz na štúdium spracovávania informácií všeobecných i špecifických, t.j. týkajúcich sa čiastkových oblastí; usiluje o dôkladnú experimentálnu kontrolu, ktorá poskytuje jednoduchšie vyslovovanie záverov; usiluje o vysokú ekologickú validitu, ktorá umožňuje jednoduchšie zovšeobecňovanie výsledkov na prostredie mimo laboratória; uskutočňuje základný výskum s cieľom získať základné vedomosti o kognícií; zaoberá sa aj aplikovaným výskumom, cieľom ktorého je efektívne využiť kogníciu v reálnych podmienkach. Kognitívni psychológovia skúmajú biologický základ poznávacích procesov, pozornosť, vedomie, vnímanie, pamäť, mentálnu reprezentáciu, jazyk, riešenie problémov, tvorivosť rozhodovanie, vývinové kognitívne zmeny v priebehu živo- 17

18 TEORETICKÁ ČASŤ ta, inteligenciu, umelú inteligenciu a množstvo ďalších aspektov myslenia (Sternberg, 2002, s ). V tabuľke 1 uvádzame stručné zhrnutie charakteristík kognitívneho vývinu z hľadiska viacerých teórií. Tabuľka 1 Rôzne teórie kognitívneho vývinu Prístup 0 1 rok 1 2 roky 2 4 roky 4 6 rokov 6 8 rokov 8 10 rokov rokov rokov Case Senzomotorické štádium: charakterizované reflexnými reakciami a reakciami, ktorých cieľom zachovať alebo zopakovať zaujímavé podnety; hlavný prínos: stálosť objektu. Relačné štruktúry: zvyšovanie porozumenia pre vzťahy (relácie) medzi objektmi a pojmami. Dimenzionálne štruktúry: zvyšovanie chápania objektov a pojmov z dimenzionálneho hľadiska Abstraktné štruktúry Fischer Senzomotorické štádium Reprezentačné štádium Abstraktné štádium Vygotskij Teoretici v oblasti spracovávania informácií Narastajúca internalizácia (proces, pri ktorom jedinci získavajú poznatky v priebehu vzájomnej interakcie v sociálnom prostredí) a rast schopností v rámci zóny najbližšieho vývinu. Nárast zložitosti kódovania, kombinovania a získavania vedomostí, seb amonitorovanie, spätná väzba. Rastúca schopnosť rozlišovať medzi zjavným a skutočným, narastajúca verbálna plynulosť, porozumenie a chápanie množstvu. Lepšia organizácia, lepšia kontrola a väčšia kapacita pamäte; narastajúca schopnosť deduktívneho, induktívneho a analogického usudzovania. (Zdroj: Sternberg, 2002) V tabuľke 1 sa zámerne neuvádza Piagetova teória kognitívneho vývinu, ktorej sa podrobnejšie budeme venovať osobitne. Teória kognitívneho vývinu významného švajčiarskeho psychológa, predstaviteľa ženevskej vývinovej školy, Jeana Piageta, významne ovplyvnila na niekoľko desaťročí výskum v oblasti vývinovej psychológie. Pozornosť venoval predovšetkým vývinu kognitívnych funkcií, ktorý nazval psychológiou inteligencie. Podobne ako v iných oblastiach svojej teórie, aj vo 18

19 OSOBNÁ POTREBA ŠTRUKTÚRY výskume vývinu človeka zdôrazňoval prevažujúci vplyv biologických faktorov. Kultúrne a sociálne vplyvy môžu proces vývinu iba o niečo urýchliť alebo spomaliť, ale nemôžu proces vývinu významne zvrátiť. Piaget (1952) hovorí o štyroch faktoroch, ktoré rôznou mierou prispievajú k duševnému vývinu: organický rast (predovšetkým dozrievanie nervovej sústavy a endokrinných žliaz); učenie a skúsenosti získané pri manipulácii s predmetmi; sociálne vzťahy; jednota činnosti vývinových faktorov. Teória kognitívneho vývinu je typickým predstaviteľom klasických (štadiálnych) teórií vývinu. Veľký dôraz je kladený práve na štádiá a pravidlá postupnosti v priebehu kognitívneho vývinu: 1. Štádiá za sebou nasledujú v určitom a nemennom poradí. Ich priebeh môže byť pod vplyvom kultúry a výchovy iba zrýchlený alebo spomalený. 2. Pre každé štádium je charakteristická celostná štruktúra, ktorá umožňuje vysvetlenie hlavných špecifických reakcií. 3. Každé štádium je jedinečné a nie je náhradou za iné. Každé ďalšie štádium je výsledkom predchádzajúcich štádií, ktoré sú v ňom integrované. Po určitom čase je aj to posledné integrované do ďalšieho, vyššieho štádia. Piaget rozdelil kognitívny vývin do štyroch hlavných štádií: senzomotorické štádium od narodenia do 2 rokov: Dôležitými procesmi v tomto štádiu sú: motorická aktivita, vnímanie, experimentovanie. Dieťa začína odlišovať seba od okolitých objektov. Buduje sa pojem stálosti objektov, čo svedčí o mentálnej reprezentácii neprítomného objektu. predoperačné štádium od 2 rokov do približne 6 7 rokov: Dôležitými procesmi v tomto štádiu sú: reč, tvorba predstáv, jednoduché myslenie. Dieťa sa učí používať reč; mentálne reprezentácie objektov sa tvoria pomocou predstáv a slov. Myslenie dieťaťa je zatiaľ egocentrické (v kognitívnom, nie v mravnom zmysle slova): všetko vidí len zo svojho pohľadu, nedokáže sa pozrieť na problém z pozície druhého človeka. Dieťa ešte plne nechápe určité pravidlá činnosti, určité operácie, hlavne vratné a reverzibilné operácie. Dokáže triediť objekty, ale hlavne podľa jedného znaku. Viac chápe niektoré vzťahy a problémy, ale rieši ich v silnej závislosti od toho, čo práve vníma (názorné myslenie). 19

20 TEORETICKÁ ČASŤ štádium konkrétnych operácií približne od 7 8 rokov do rokov: Dôležitými procesmi sú: logické myslenie, narábanie s abstraktnými pojmami, i keď zatiaľ len vo vzťahu ku konkrétnym objektom, ktoré môže priamo vnímať svojimi zmyslami. Dieťa je schopné pochopiť identitu, overuje si návratnosť mentálnych operácií. Chápe zachovanie počtu objektov (okolo 6 rokov), zachovanie hmotnosti objektov (okolo 9 rokov). Dokáže triediť objekty podľa niekoľkých znakov. Experimentuje s objektmi, nie však systematicky. štádium formálnych operácií od rokov: Dôležitými procesmi sú abstraktné a formálne logické operácie. Dieťa sa už nemusí opierať o realitu vnímanú svojimi zmyslami, je schopné hypoteticko-deduktívneho úsudku typu ak.., tak!. Pri experimentovaní systematicky obmieňa premenné, hľadá pravidlá. Dokáže sa vyrovnať so situáciami, s ktorými sa doposiaľ nestretlo. Operácie sa spájajú do zložitejšej štruktúry a dieťa s nimi vie pracovať oboma smermi (priamo aj spätne). Ako uvádza Case (1985) vzdelávanie a psychológia kognitívneho vývinu sa spájajú v množstve kľúčových predpokladov. Z predchádzajúceho vyplýva, že psychológia kognitívneho vývinu definuje kognitívne kompetencie človeka v postupných vývinových štádiách. Možno teda konštatovať, že špecifikuje, aké aspekty sveta môžu byť pochopené v určitom veku, ktoré druhy pojmov môžu byť konštruované a aké typy problémov môžu byť vyriešené v jednotlivých štádiách kognitívneho vývinu. Ďalším aspektom je, že psychológia kognitívneho vývinu zahŕňa porozumenie kognitívnym zmenám a poznanie faktorov a procesov, ktoré umožňujú rozvoj kognitívnych kompetencií. Vzdelávanie taktiež ovplyvňuje kognitívne zmeny. Proces informácií a budovanie poznatkov si vyžaduje efektívne vyučovacie metódy, ktoré musia umožňovať žiakom/študentom prechod z nižšej do vyššej úrovne porozumenia alebo opustiť menej efektívne metódy kvôli efektívnejším. Preto poznanie mechanizmov zmeny úrovní vývinu môže vytvárať základ pre tvorbu ako aj výber vhodných vyučovacích metód adekvátne k vyučovaciemu predmetu ako aj veku žiaka. Schopnosť vytvorenia kognitívnej štruktúry predstavuje do akej miery je jednotlivec schopný vyhnúť sa informáciám, ktoré nezodpovedajú jeho už existujúcej štruktúre poznania. Schopnosť vytvorenia kognitívnej štruktúry (AACS) hovorí o spôsobe jednotlivca (i celej skupiny) vnímať a spracovávať informácie o neurčitých stimuloch a situáciách alebo o situáciách, ktoré sú považované za neurčité (Sarmány Schuller, 1999). Ako uvádzajú Bar-Tal a Spitzer (1999) vysoká schopnosť vytvárania kognitívnej štruktúry súvisí so schopnosťou riešiť nové nejednoznačné situácie, ochotou experimentovať s neznámym, ochotou meniť zaužívané spôso- 20