Funktsioonid see on imelihtne Agu Ojasoo, Kiili Gümnaasium

Transcription

1 Funktsioonid see on imelihtne Agu Ojasoo, Kiili Gümnaasium See pisut intrigeeriv pealkiri on mõeldud täiesti tõsiselt. Paraku ei pea funktsioonide teemat lihtsaks siiski valdav osa õpilastest ja ka paljud õpetajad. Püüame mõista, miks. Riiklik õppekava näeb ette, et põhikooli (pk) lõpetaja peaks mõistma, mis on funktsionaalne seos ning teadma ja tundma neist lihtsamaid (lineaarne-, võrdeline-, pöördvõrdeline ja ruutsõltuvus) ning nende graafikuid; trigonomeetrilisi seoseid kui funktsioone siinkohal ei mainita. Tegelikult gümnaasiumiuusik pahatihti ei mõista funktsiooni olemust ega oska seda defineerida. Hädade põhjusi tuleb eelkõige otsida didaktikas ja metoodikas. Teema õpetamisel põhikoolis võib õpetajaid ja õppijaid segadusse ajada nii sisult kui sügavuselt erinev käsitlus käibivates õpikutes. Põhimõttelised erinevused algavad juba funktsiooni mõiste avamisel ja defineerimisel. Alates sellest, kui Gottfried Wilhelm Leibniz 17.sajandi lõpul funktsiooni mõiste matemaatikas kasutusele võttis, on see tohutult arenenud ja avardunud. Arengu käigus on tekkinud ka erinevaid tõlgendusi ja terminite erinevaid kasutusi. Õpetajal on oluline teada kaht (ka pk matemaatikasse jõudnud) erinevat käsitlust. 19.sajandil defineeris Peter Gustav Lejeune Dirichlet funktsiooni tuginedes kahe muutuva suuruse sõltuvuse mõistele. 19.sajandi lõpupoole tekkis matemaatikutel aga vaimustus formaliseerida kogu matemaatikat hulgateooria abil. Funktsiooniks nimetatakse viimasel juhul lihtsalt kahe hulga elementide vahel korraldatud vastavust, aga arvutuslikult väljendatav sõltuvus pole oluline. Eriti nõutuks jäävad seetõttu need õppurid-õpetajad, kes mingil põhjusel püüavad teemast aru saada kasutades HM poolt heaks kiidetud paralleelõpikuid ja satuvad erinevatele tõlgendustele. Matemaatilise analüüsi seisukohalt eelistatakse Dirichlet poolt antut ja seetõttu on pk-s funktsiooni mõiste laiem käsitlemine tegelikult eksitav. Mõned näited õpikutest. Telgmaa * (lk 114): Seos viljasaagi ja sademete hulga vahel ei ole funktsioon, sest Tõnso ** (lk 201): igale inimesele vastab ta vanus, see seos on funktsioon. Igale õpilasele (jrk nr klassipäevikus) vastab matemaatika aastahinne, ka see seos on funktsioon. Pais *** (lk 26): täpsustab funktsiooni näidet õpilastest ja hinnetest funktsiooni määramishulgaks on kontrolltöö kirjutanud õpilaste hulk (klassi õpilaste osahulk) ja funktsiooni väärtuste piirkonnaks hulk elementidega 2;3;4;5.

2 Lind **** (lk 83): vaatleb funktsioonide näidetena vaid arvutuslikult seotud vastavusi, mis ongi olulisim. Aga miks tabel viljasaagi ja sademete hulga vastavusest aastate lõikes pole ja samas õpilase jrk. nr. ning saadud hinde vastavus on funktsioon? Mõlemal juhul on ju vastavus olemas. Samas on kahtlemata sõltuvuses sademete hulk ja viljasaak, aga õpilase jrk nr ja hinne pole üldse sõltuvad. Või kas õppimiseks kulutatud aeg ja sellele järgnev kontrolltöö hinne on funktsioon? Vastavustabelit on lihtne koostada ja sõltuvus on ka olemas Õpilane jääb kindlasti nõutuks, loodame, et enamik õpetajaid vastuse leiab. Ka definitsiooni osas pole õppekirjanduse autoreil täielikku üksmeelt. Enamasti pakutakse funktsiooniks seost ehk eeskirja, mille puhul ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. Aga vahel samastatakse mõisted funktsioon ja funktsiooni väärtus (Lind **** lk 83). Märgitakse, et tihti saab funktsiooni avaldada valemi abil, mis võimaldab argumendi iga võimaliku väärtuse järgi arvutada funktsiooni vastavat väärtust (järelikult alati pole funktsiooni määrav eeskiri arvutuslikult väljendatav). Mõnes õpikus võetakse kohe ka kasutusele mõisted argument, funktsiooniväärtus, määramis- ja muutumispiirkond, mõnes mitte. Mõni autor pakub 7.klassis kohe ka kirjutist y=f(x) samas kui teised jätavad selle gümnaasiumisse. Mõnes õpikus toonitatakse, et argumendile tohib vastata ainult üks ja mitte rohkem funktsiooni väärtusi; mõnes täpsustatakse meie piirdume ainult üheste funktsioonide vaatlemisega. Funktsiooni olemuse groteskseks näitlikustamiseks kasutatakse vahel pilti hakklihamasinast: liha argumentide hulk, hakklihamasin funktsioon ja hakkliha funktsiooni väärtus. Lisaksin siia jutu, et funktsioonimasinasse võime sisse sööta kõiki erinevaid reaalarve ja olenevalt funktsioonimasina häälestusest st funktsiooniks olevast eeskirjast leiab ta vastava reaalarvu juhul, kui see on olemas. Aga ise peame lisaks aru pidama, millised reaalarvud konkreetses situatsioonis argumendi väärtuseks sobivad kui argumendiks on lõigu pikkused, siis sobivad vaid positiivsed arvud, kui inimeste arvud, siis naturaalarvud jne. Sellise masina võiks demonstratsioonina klassis või ühistööna arvutiklassis kohemaid luua näiteks Excelis. Seejuures ei pea sugugi piirduma vaid pk programmiliste funktsioonidega vaid kasvõi nt. f(x)=(2x 1):(x+2) või g(x)=4x 0,5 jmt., et näidata kuidas funktsioonimasin mittesobivad argumendiväärtused kõrvale heidab. Samalaadset tööd saab edukalt läbi viia ka taskuarvutitega. Kuna me praktiliselt tegeleme koolimatemaatikas gümnaasiumi lõpuni vaid elementaarfunktsioonidega, siis oleks otstarbekas pk-s funktsiooni mõiste sellisena avadagi. Matemaatilise tõe ja täpsuse huvides lisaksime vaid ääremärkuse (mida pole vaja ületähtsustada), et funktsiooni mõistet

3 vaadeldakse matemaatikas ka palju laiemalt. Olenemata kasutusel olevast õpikust saab iga õpetaja siiski rahulikult esitada teema oma parema äratundmise järgi. Näiteks võiks funktsioonide õpetamisel pk-s lähtuda järgmisest käsitlusest: 6.klass. Eeltööna funktsioonide õpetamiseks teeme selgeks punkti koordinaadid ristkoordinaadistikus, kahe omavahel seotud suuruse graafilise kujutamise (aeg ja temperatuur, aeg ja läbitud teepikkus jne) ja graafikult ühe muutuja järgi teise vastava väärtuse leidmise. 7.klass. Funktsiooni mõiste meie vaatleme edaspidi funktsioonina kahe muutuja x ja y vahelist sõltuvust, kus igale muutuja x lubatud väärtusele on arvutusliku eeskirjaga määratud parajasti üks y väärtus. Nii määratletud funktsioone saab esitada verbaalselt, valemina, tabelina, järjestatud arvupaaridena, koordinaattasandi punktidena, skemaatiliselt diagrammina. Tähelepanu tuleb juhtida sellele, et kõige loomulikum funktsiooni esitamise viis on verbaalne, kõige lakoonilisem ja kogu funktsiooni haarav on valem, kõige piltlikum graafik, kõige piiratumad aga tabel, järjestatud arvupaarid ja diagramm, kuna viimased ei võimalda tavaliselt esitada kogu määramisja muutumispiirkonda. Funktsiooni esitamise viisid, argument ja määramispiirkond, funktsiooni väärtus ja muutumispiirkond, kirjutis y=f(x); võrdeline seos ja graafik; lineaarfunktsioon ja graafik, sirge tõus ja algordinaat, võrre, võrdekujuline võrrand, võrdeline jaotamine, lineaarvõrrandi ja -võrratuse graafiline lahendamine; pöördvõrdeline seos ja graafik. Oluline on selgitada, et ka varemõpitud ümbermõõtude ja pindalade leidmise valemid kujutavad endast funktsionaalseid seoseid. Näiteks P=4a on võrdeline seos. Midagi halba pole sellest, kui S=πr 2 kohta mainime, et see on ruutfunktsioon (milliseid lähemalt õpime 9.klassis). Seejuures aga nt. valemist S=ab saame ühemuutuja funktsiooni kui üht ristküliku külge vaadelda konstantsena ja teist argumendina. Sama olukord on ka nt s=vt, V=S p h; V=abc puhul. Olenevalt õpetaja soovist, klassi tasemest ja ka kasutatavast õpikust on 7.kl funktsioonide õpetamisel kaks põhimõtteliselt erinevat lähenemise võimalust: kas üksikult üldisele või üldiselt üksikule. Esimesel viisil on koostatud Tõnso õpik**. Autor käsitleb enne funktsiooni mõisteni jõudmist väga põhjalikult teemasid suhe; võrre; võrdekujuline võrrand; jäävad ja muutuvad suurused, teineteisest sõltuvad suurused; võrdelised suurused (võrdeline sõltuvus); võrdeliste suuruste omadusd; pöördvõrdelised suurused (pöördvõrdeline sõltuvus); võrdeline ja pöördvõrdeline jaotamine; graafikute lugemine. Alles pärast põhjalikku ettevalmistust tulevad teemad: funktsiooni mõiste; võrdeline sõltuvus ja graafik; lineaarfunktsioon ja graafik; pöördvõrdeline seos ja graafik; lineaarvõrrandi ja -võrratuse graafiline lahendamine. Teine võimalus on kohe alustada funktsiooni mõiste avamisega ja seejärel minna konkreetsete

4 seoste juurde. Nii käsitlevad teemat nii Telgmaa* kui Pais***. Kõige sügavamalt käsitleb funktsionaalset sõltuvust 7.klassis Pais andes nii kirjutise y=f(x), kui avades ka mõisted sirge tõus ja algordinaat. 8.klass. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiline kujutamine ja lineaarvõrrandisüsteemi ning lineaarvõrratuse graafiline lahendamine. Siinkohal on vajalik õpilastele näidata teema seotust lineaarfunktsiooniga. Pais*** pakub 8.klassis ka ruutvõrrandi geomeetrilise tõlgenduse. 9.klass. Ruutfunktsioon, selle graafik, seos ruutvõrrandiga. Täisnurkse kolmnurga trigonomeetrilised funktsioonid. (täisnurkse kolmnurga trigonomeetria funktsionaalne olemus on rõhutatumalt esile toodud Tõnsol**). Ruutfunktsiooni graafiku haripunkti leidmine ja selle sidumine tekst-ekstreemumülesannetega (mida ainsana pakub 9.klassis Pais***). Hea õpitulemuse tagamiseks on vajalik näidata ja lasta õpilastel oma käega tunnetada funktsioonide graafikute dünaamikat. Väga tänuväärne on selleks vabavarana kasutatav programm GeoGebra. Kolmandas kooliastmes õpitavad funktsioonide graafikud, millede joonistamine, aga veel parem kui ka graafikult funktsiooni avaldise leidmine peaks saama selgeks. Pk lõpul oleks hea jõuda selleni, et õpilane suudab määrata neid funktsioone ka üksikute punktide järgi: pöördvõrdelist seost graafiku ühe punkti järgi, lineaarfunktsiooni kahe punkti ja ruutfunktsiooni kolme punkti järgi. Õpetus funktsioonidest on imelihtne kui vaatleme ja defineerime funktsiooni ainult arvutusliku üheselt määratud seosena, näitame mistahes funktsiooni kõiki ülalmainitud esitusviise, seostame lineaarfunktsiooni, sirge võrrandi ilmutatud kuju, sirge tõusu ja algordinaadi, sirge ja kahe muutujaga lineaarvõrrandi mõisted, õpetame funktsioonide graafikute ja koordinaattelgede ning erinevate funktsioonide graafikute lõikepunktide leidmist nii arvutuslikult kui visuaalselt,

5 seome funktsioonide mõiste ning nende uurimise sisuliste tekstülesannetega (s.h. ruutfunktsiooni ekstreemumülesanded). Anname kirjutise y=f(x) nimetades siin x argumendiks, f funktsiooniks ja y funktsiooni väärtuseks. Kirjandus * E.Nurk, A.Telgmaa, A.Undusk.Matemaatika VII klassile. Tln: Koolibri 2006 ** T.Tõnso. Matemaatika 7.klassile. Tln: Mathema 2002 *** E.Pais, K.Matiisen, K.Kaldmäe, A.Kontson. Matemaatia õpik VII klassile, II osa Tln.AS BIT 2005 **** A.Lind. Matemaatika põhikooli õpilasele. Tln. AS Kirjastus Ilo, 2004 Functions it is easy Agu Ojasoo Summary From the moment when the concept of function was implemented in mathematics it has grown and developed significantly. As a function is actually only considered through its formula, which determines the onevalued relation, then this is how we should define it. It is enough to mention that the concept of function is much more widely used in higher mathematics. It is important to introduce all different representations of functions. At the secondary level there is a necessity for a stronger relationship between word problems and functions.